切线的性质和判定定理及例题解析

展全思梦 2025-11-03 09:27:18

以下是关于切线的性质和判定定理及例题解析的介绍

一、切线的性质和判定定理

1、圆的切线

直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。

2、切线的判定定理

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。此外，经过圆心且垂直于切线的直线一定过切点；垂直于切线且过切点的直线必过圆心。

3、切线的性质定理

圆的切线垂直于过切点的半径。

4、切线长

（1）切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

5、切线的判定和性质的应用

（1）辅助线的作法

运用切线的性质来进行计算或论证的常见辅助线是连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题。

（2）证明直线与圆相切的三种途径

①证直线和圆有唯一公共点（即运用定义）。

②证直线过半径外端且垂直于这条半径（即运用判定定理）。

③证圆心到直线的距离等于圆的半径（即证$d=r$）。

二、切线的性质的相关例题

$AB$是$⊙O$的直径，$AC$是$⊙O$的切线，连接$OC$交$⊙O$于点$D$。连接$BD$，$∠C=36°$，则$∠B$的度数是___

A．27°

B．30°

C．36°

D．54°

答案：A

解析：∵$AC$是$⊙O$的切线，$AB$是$⊙O$的直径，∴$AB⊥AC$，∴$∠OAC= 90°$。∵$∠C=36°$，$∠AOC=54°$，根据圆周角定理得，$∠B=$$frac{1}{2}∠AOC=$$27°$，故选A。

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